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2017년 1월 1일 일요일

포트폴리오 제약조건이 MDP 성과에 미치는 영향: KOSPI200 대상



Maximum Diversification Portfolio (MDP) 란?


기존 최소분산 포트폴리오 (Minimum Volatility)
단순히 포트폴리오 전체의 분산을 최소화 하는
최적화 기법이었다.

단면 MDP는 포트폴리오 분산의 수식으로 돌아간다.




포트폴리오 분산의 수식 중에는
자산간의 상관관계가 포함되어 있으며,
기본적으로 상관관계는 -1 과 1 사이에 위치한다.




상관관계가 1일 경우
포트폴리오의 분산은 단순히 자산간 분산의
선형관계이며,

상관관계가 -1일 경우
무위험 포트폴리오를 구성할 수 있다.

따라서 자산간 상관관계를 낮출 수록
낮은 분산으로 동일한 수익률을 얻을 수 있는
포트폴리오를 구성할 수 있다.

이것이 바로 Portfolio 이론의 기초가 된
Efficient Frontier 의 기본 개념이다.


다시 MDP로 돌아가면,
MDP 는 DR는 최대화 하는 기법이다.



DR 은
분산 가중평균 / 포트폴리오 분산
으로 나타나며

자산간 분산효과가 커질 수록,
포트폴리오 전체 분산은 작아지며 (분모)

분모가 작아지므로 전체 값 (DR) 은 커지가 된다.

MVP의 경우 단순히
DR식의 분모 최소화에서 집중 되어 있지만,

분산 최소화분산 효과 최대화
동일함을 의미하지는 않는다.





MDP 구성방법


(No Constriant) MDP 구성의
목적함수는 Max DR 이며
제약함수는 Long Only 이다.






투자가능성을 위한 제약조건 추가


제약조건이 없이 최적화로 포트폴리오를 구성할 경우의 문제점은
지난번에도 언급한 적 있다.


ⅰ. 소수 종목으로 인한 분산효과 불가능
ⅱ. 특정 종목으로의 지나친 쏠림


따라서 투자가능성을 위해 몇가지 제약조건을 추가 한다.


ⅰ. Cap weight


특정 종목으로의 비중 쏠림 방지를 위해
종목 간 최대 비중에 제약을 준다.
해당 연구에서는 최대 비중을 5% 로 제한한다.

그러나, 벤치마크 내에서 1~2bp 차지하는 등
극소형주에 5%의 비중을 부여하면,
벤치마크와의 추적오차 (Tracking Error) 가
지나치게 커지게 되며,

실제 포트폴리오의 운용금액이 증가시
마켓에의 영향도 커지게 된다.

따라서, [ 종목의 시장비중 * 20 ]  의
최대 비중도 추가적으로 제약조건을 준다.

이를 동시에 고려한 Cap Weight Upper Bound 는
아래와 같다.




Upper Bound 를 도식화 하면 아래와 같다.



대형주의 경우 최대 비중이 5%로 제약되며,

중소형주로 갈 수록 시가총액에 비례하여
최대 비중 제약조건이 낮아짐을 알 수 있다.


ⅱ. Concentration Constraint



포트폴리오 내에서 특정 종목으로의 쏠림이
얼마나 심한가를 측정하는 지표로
Diversification Ratio 혹은 Effective N 이 사용된다.




종목간에 비중 쏠림이 작을 수록
Diversification Ratio 과 Effective N 은 커지게 된다.

극단적으로 쏠림이 작은 동일가중 포트폴리오의 경우

Diversification Ratio 는 0.995 가 나오며,
Effective N 은 200 이 나온다.

해당 연구에서는 FTSE 에서 사용되는 Effective N: 50에 맞춰
Diversification Ratio > 0.98 의 제약조건을 둔다.



비선형 제약조건의 선형화


지난번 연구에서는 Concentration Constraint 를 풀기 위해
비선형 방법론 (Differential Evolution) 을 사용하였으나,
해당 방법론은 다음과 같은 단점이 있다.

ㄱ. 계산 시간이 지나치게 오래 걸림
ㄴ. 계산 반복시 마다 값이 미세하게 변경됨

해당 연구에서는 Ridge Regression 을 활용하여
비선형 제약조건을 강제로 선형 제약조건으로
변경하여 문제를 해결하도록 한다.


MDP 포트폴리오에의 적용은
간단히 표현하면 다음과 같다.





람다 값이 0 일 경우
기존의 일반적인 MDP 목적함 수 이지만,

람다 값이 증가할 수록 Concentration 제약조건도 함께 고려된다.




람다 값의 증가에 따른
DR 과 Diversification 정도의 그래프 이다.

람다가 0 인 경우,
max DR 최적화 값만 찾지만

람다가 증가할 수록
DR 값은 점차 감소하는 반면
종목간 분산화 정도는 점점 증가한다.

해당 연구에서는 각 리밸런싱 시점에서

Diversification 값이 0.98 이 (Effective N = 50)

되는 람다 값을 찾은 후,
해당 값을 제약 조건에 부여한다.




시뮬레이션 방법론


본 연구에서는 위의 제약조건들을 토대로
KOSPI 200 대상 MDP 를 시뮬레이션 한다.

기간은 2001년 1월 부터 현재까지를 하며,
사용되는 covariance matrix는
Daily return 기준 과거 1년 값을 사용한다. 

Quarterly Rebalancing 을 시행하며
(1, 4, 7, 10월 초)

각각 아래 포트폴리오에 대한 백테스트를 한다.


ⅰ. KOSPI 200
ⅱ. MDP with No Constraint
ⅲ. MVP with Cap weight Constraint
ⅳ. MVP with Cap & Concentration Constraint


1bp 이하의 종목의 비중은 0으로 처리한다.



백테스트: 분기별 리밸런싱


2001년 1월부터 분기별 리밸런싱 기준
누적수익률 및 년도별 수익률,
요약 통계량은 아래와 같다.



 
KOSPI 200
No Constraint
Cap Weight
Cap & Concen
누적 수익률
3.1043
1.3427
4.6469
4.5825
연율화 수익률
0.0923
0.0546
0.1143
0.1135
연율화 변동성
0.2158
0.2265
0.2089
0.2155
샤프 지수
0.4276
0.2413
0.5470
0.5266
MDD
0.4698
0.5835
0.4698
0.4754
추적 오차
0.3226
0.3332
0.3158
0.3205
정보 비율
0.0000
-0.1140
0.0709
0.0671
사전 변동성 (평균)
0.3046
0.1070
0.1406
0.1580
DR (평균)
1.8554
3.2587
2.9014
2.8582
종목 구성수 (평균)
199.1911
40.7941
71.9852
95.6470
분산 정도 (평균)
0.9463
0.9422
0.9727
0.9809
상위 5  (평균)
0.3719
0.3664
0.2390
0.1903


비제약 조건 MDP 의 경우, DR 값은 가장 높았지만 
과최적화로 인해 지수 보다 못한 성과를 기록하였다.

반면 Cap Weight 및 Concentration Constraint 를 부과할 경우
지수 대비 우월한 성과를 거둠이 확인됐다.


Alpha
MKT
SMB
HML
R-square
No Constraint
-0.0028
(-1.286)
0.8033
(23.798)
0.6211
(12.484)
0.2440
(4.998)
0.8047
Cap Weight
0.0014
(0.875)
0.8076
(32.102)
0.5051
(13.622)
0.2287
(6.286)
0.8724
Cap & Concen
0.0014
(1.017)
0.8435
(38.277)
0.5622
(17.309)
0.2058
(6.458)
0.9080


각 제약조건의 수익률과
FF 3 factor 의 회귀분석 결과를 살펴보면

제약조건이 추가 될 수록,
종목에 대한 분산정도가 커져,
Market beta 값이 증가 함을 알 수 있다.


다음은 각 지표의 시계열 흐름을 나타낸 그래프이다.

사전 변동성 (Ex-ante volatility)



DR

종목 구성수

분산 정도


상위 5개 종목 비중 합




백테스트: 턴오버와 매매비용 추가


제약조건이 작을 수록 종목 수가 작아져
턴오버가 증가하며, 이는 매매비용의 증가로 이어진다.

따라서 추가적으로 이를 고려해 보도록 한다.

먼저 턴오버는 다음과 같이 정의한다.


전기 리밸런싱 시점과 현재 시점
각 종목간의 비중 차이 절대 값의 합으로
매수 / 매도 양측 모두를 고려한다.



턴오버

턴오버 (년도별)

제약조건이 약할 수록 턴오버가 증가함을 알 수 있다.
턴오버에 따른 매매수수료를 고려한 수익률을 살펴보도록 하겠다.

수수료의 경우 슬리피지 비용까지 고려하여 
아래와 같이 고려한다.

매수, 매도: 10bp
매매시 세금: 30bp


매매수수료 전과 후의 연율화 수익률 비교는 다음과 같다.


수수료
수수료
감소
No Constraint
0.0546
0.0452
20.80%
Cap Weight
0.1143
0.1072
6.62%
Cap & Concen
0.1135
0.1072
5.88%


턴오버가 심할 수록 매매 수수료로 인한
수익률 감소폭이 커졌다.


댓글 3개:

  1. 좋은 글 잘 보았습니다.
    턴오버의 경우 매수매도 수수료는 이해가 가는데
    세금은 매매가 아닌 매도시만 낼텐데 이럴경우 벡테스트 적용이 어려운가요?
    아울러 구글서치를 하다 OLPS 라는 실시간포트폴리오선택에 관한 논문과 ETF 를 대상으로 백테스트한 결과가 있던데요. 요약하면 패자추종과 승자추종,둘을 적당히 합성한 메타전략,그리고 패턴추종 중에서 패자추종방식 즉 이동평균이용 OLMAR와 중앙값이용 RMR 이 우수하다는 내용인데요.
    혹시 어떻게 생각하시는지 궁금합니다.
    매트랩과 파이썬,R등의 소스가 깃허브에 있어서 시뮬을 해보니 성과가 좋긴하나 MDD가 상당하며 일간 리발란싱이 일어나며 매매비용ㅡ트랜잭션코스트ㅡ적용시 현저히 수익이 떨어집니다.

    아래는 관련 논문이구요.
    https://www.google.co.kr/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://ink.library.smu.edu.sg/cgi/viewcontent.cgi%3Farticle%3D4409%26context%3Dsis_research&ved=0ahUKEwjsjaympurVAhXMTbwKHc65BA0QFggsMAM&usg=AFQjCNEQgkW6tVJgGzPAbmlw8AmxN09hJA

    etf 적용시뮬레이션
    https://www.quantopian.com/posts/comparing-olps-algorithms-olmar-up-et-al-dot-on-etfs

    국내논문도 있네요.
    http://www.dbpia.co.kr/view/ar_view.asp?arid=3223455

    혹여 엑셀정도만 다루다보니 상기논문에 언급된 이전 포트폴리오와 바꿀포트폴리오의 비중조절시 유클리드 거리의 편차가 최소화되도록하는 내용이 있는데 엑셀해찾기로 이를 구현할 수가 있을까요?
    감사합니다.

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    1. 백테스트 적용이 어렵진 않습니다. 단지 매수/매도 매트릭스 짜는게 귀찮아서 다들 안할뿐이죠...
      사실 슬리피지를 엄청 크게 잡으면 별 차이도 없고요

      주신 논문은 한번 봐야겠네요. 해찾기로는 아마 힘들겁니다.

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  2. 아래논문은 비용을 고려한 빈번한 매매를 제한하는 내용인데 제가 이해하기 좀 어렵네요ㅎ

    https://www.google.co.kr/search?client=ms-android-skt-kr&ei=b_ioWc7LLsb18gX8uIjYCQ&q=online+lazy+updates+for+portfolio+selection+with+transaction+costs&oq=online+lazy+&gs_l=mobile-gws-serp.1.0.0j0i30k1l4.2802.10975.0.12954.13.13.0.0.0.0.305.2903.0j6j6j1.13.0....0...1.1j4.64.mobile-gws-serp..0.13.2901...41j0i131k1j0i10i30k1.yx44fkSp3CI

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