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2017년 1월 7일 토요일

Betting Against Beta in KOSPI200



흔히 팩터의 유의성을 판단하는 방법으로

상위 분위수 - 하위 분위수

즉 롱숏을 통한 무비용 포트폴리오의 수익률을 봅니다.

파마프렌치의 3팩터 요소중 SMB, HML 역시

SMB(소형주팩터)는 시총 Median 기준 상위 - 하위
HML(가치주팩터)는 BM 상위 30% - 하위 30%

방법으로 계산됩니다.


저위험 효과의 유의미성을 알아보기 위해
동일한 방법론을 적용해 봅니다.


먼저, 저변동성 효과를 알아보기 위해
KOSPI200 종목 기준

각 변동성별 포트폴리오 누적수익률 (Long Only)
변동성 하위 20% - 변동성 상위 20% (Long Short)

포트폴리오 수익률 입니다.






먼저 Long Only 포트폴리오의 경우
저변동성 일수록 수익률이 높음이 확연히 보입니다.

Long Short 포트폴리오 역시
누적수익률이 상승하는 모습을 보이며,

저변동성 팩터가 유의함을 보입니다.



이번에는 저베타 효과를 알아보도록 합니다.
테스트 방식은 똑같으며,
변동성만 베타로 변경합니다.





Long Only 포트폴리오에서
1분위 포트폴리오가 5분위 포트폴리오보다
높은 성과를 보이기는 하지만,

저변동성 포트폴리오에 비해 
수익률 차이가 많이 나지는 않습니다.

문제는 Long Short 포트폴리오에 있습니다.

오히려 수익률이 마이너스가 나서,
KOSPI200 시장 내에서는
저베타 팩터가 효과가 없는 듯 보입니다.

고봉찬, 김진우. (2014). “저변동성 이상현상과 투자전략의 수익성 검증”.
에서도 동일한 결과가 나옵니다.


왜 이런 현상이 나는가? 생각해보면

저베타 Long, 고베타 Short 의 경우
이론적으로는 저베타 효과로 인해 높은 수익이 나야하지만,

구성된 포트폴리오의 베타는 음수입니다.

따라서, 시장과 정반대의 움직임을 보이고
장기적으로 시장이 상승한다면
포트폴리오 자체의 수익은 마이너스가 납니다.


AQR Capital 에서 발표한 논문
Andrea Frazzini and Lasse Heje Pedersen. (2013). “Betting Against Beta”. 

에서는 저베타 효과를 새로운 방법으로 정의합니다.

먼저, 베타의 수식은 다음과 같습니다.
이는 Low Risk Portfolios [LINK] 에서도 증명했었습니다.


논문에서는 5년간 일간 수익률기준 상관관계를,
1년간 일간 수익률 기준 변동성을 이용하여
시계열 베타를 계산하였습니다.




그 후, Outlier의 영향을 최소화 하기 위해
시계열베타를 횡단면 평균 베타 방향으로 축소해줍니다.




Weight는 일반적으로 많이 사용하는 0.6을 사용했으며,
횡단면 평균 베타는 장기 베타값인 1로 사용했습니다.

쉽게 말하면, 구해진 베타값에 0.6을 곱한 후,
단순히 0.4 를 더해줍니다.


(보통 재무관리에 나오는 조정된 베타 추정 방법입니다.)


베타를 추정한 후,
매월별 베타값들의 Median 를 기준으로 하여

저베타 (Low beta) 포트폴리오와
고베타 (High beta) 포트폴리오를

구성합니다.

그 후, 각 포트폴리오의 베타값을 구해줍니다.
포트폴리오 베타에 사용되는 weight 는
각 포트폴리오 내 베타의 Ranking 가중평균 방식으로 합니다.

저베타 포트폴리오 내에서는
베타순위가 낮을수록 높은 가중치를,

고베타 포트폴리오 내에서는
베타순위가 높을수록 높은 가중치를

받습니다.

쉽게 표현하면 다음과 같습니다.


저베타 포트폴리오
BETA
0.60
0.70
0.80
RANKING (오름차순)
1.00
2.00
3.00
1 / RANK
1.00
0.50
0.33
Sum of 1 / Rank
1.83
Weight
0.55
0.27
0.18
Portfolio Beta
0.66
고베타 포트폴리오
BETA
1.00
1.20
1.30
RANKING (내림차순)
3.00
2.00
1.00
1 / RANK
0.33
0.50
1.00
Sum of 1 / Rank
1.83
Weight
0.18
0.27
0.55
Portfolio Beta
1.22


그 후, 베타중립 포트폴리오 (beta=0) 를 만들기 위해
투자 비중을 조정해 줍니다.

일반적으로 해왔던 방식이
우등 포트폴리오를 모두 매수하고,
열등 포트폴리오를 모두 매도하는 방식의
 Dollar Neutral 방식이었다면,

BaB 방법론에서는 베타를 0 으로 만들어 주는
Beta Neutral 포트폴리오를 만들어 줍니다.


위에서 계산된 예시에서
고베타 포트폴리오의 베타는 1.22 이며,
1 / 1.22 = 0.82원 만큼
고베타 포트폴리오를 공매도를 합니다.

그 후, 저베타 포트폴리오의 베타 역수인
1 / 0.66 = 1.52원 만큼 레버리지 투자를 합니다.

부족한 금액 1.52 - 0.82 =  0.7 원은
차입을 통해 조달합니다.



해당 방식으로 구성된 포트폴리오의 베타는
1.52 * 0.66 - 0.82 * 1.22 = 0 
이 됩니다.

즉, 포트폴리오 자체의 베타는 0으로 만들어 주며
저베타 포트폴리오에 레버리지를 통해
더욱 많은 투자를 합니다.

저베타 현상이 존재한다면,
해당 방식으로 구성된 포트폴리오는
장기적으로 상승하여야 합니다.

레버리지, 공매도, 차입을 모두 고려한
BaB 팩터의 수익률은 다음과 같습니다.



KOSPI200 내에서의 결과는
다음과 같습니다.



위에서의 단순한 저베타-고베타 와는 달리
BaB 방법론을 통해 구한 베타중립 포트폴리오를 통해

저베타 팩터가 유효함이 보입니다.




BaB 팩터는 AQR Capital [Link] 에서 매월 제공하며

전세계 모든 지역에서
장기적으로 유효한 성과를 보이고 있습니다.

2017년 1월 1일 일요일

포트폴리오 제약조건이 MDP 성과에 미치는 영향: KOSPI200 대상



Maximum Diversification Portfolio (MDP) 란?


기존 최소분산 포트폴리오 (Minimum Volatility)
단순히 포트폴리오 전체의 분산을 최소화 하는
최적화 기법이었다.

단면 MDP는 포트폴리오 분산의 수식으로 돌아간다.




포트폴리오 분산의 수식 중에는
자산간의 상관관계가 포함되어 있으며,
기본적으로 상관관계는 -1 과 1 사이에 위치한다.




상관관계가 1일 경우
포트폴리오의 분산은 단순히 자산간 분산의
선형관계이며,

상관관계가 -1일 경우
무위험 포트폴리오를 구성할 수 있다.

따라서 자산간 상관관계를 낮출 수록
낮은 분산으로 동일한 수익률을 얻을 수 있는
포트폴리오를 구성할 수 있다.

이것이 바로 Portfolio 이론의 기초가 된
Efficient Frontier 의 기본 개념이다.


다시 MDP로 돌아가면,
MDP 는 DR는 최대화 하는 기법이다.



DR 은
분산 가중평균 / 포트폴리오 분산
으로 나타나며

자산간 분산효과가 커질 수록,
포트폴리오 전체 분산은 작아지며 (분모)

분모가 작아지므로 전체 값 (DR) 은 커지가 된다.

MVP의 경우 단순히
DR식의 분모 최소화에서 집중 되어 있지만,

분산 최소화분산 효과 최대화
동일함을 의미하지는 않는다.





MDP 구성방법


(No Constriant) MDP 구성의
목적함수는 Max DR 이며
제약함수는 Long Only 이다.






투자가능성을 위한 제약조건 추가


제약조건이 없이 최적화로 포트폴리오를 구성할 경우의 문제점은
지난번에도 언급한 적 있다.


ⅰ. 소수 종목으로 인한 분산효과 불가능
ⅱ. 특정 종목으로의 지나친 쏠림


따라서 투자가능성을 위해 몇가지 제약조건을 추가 한다.


ⅰ. Cap weight


특정 종목으로의 비중 쏠림 방지를 위해
종목 간 최대 비중에 제약을 준다.
해당 연구에서는 최대 비중을 5% 로 제한한다.

그러나, 벤치마크 내에서 1~2bp 차지하는 등
극소형주에 5%의 비중을 부여하면,
벤치마크와의 추적오차 (Tracking Error) 가
지나치게 커지게 되며,

실제 포트폴리오의 운용금액이 증가시
마켓에의 영향도 커지게 된다.

따라서, [ 종목의 시장비중 * 20 ]  의
최대 비중도 추가적으로 제약조건을 준다.

이를 동시에 고려한 Cap Weight Upper Bound 는
아래와 같다.




Upper Bound 를 도식화 하면 아래와 같다.



대형주의 경우 최대 비중이 5%로 제약되며,

중소형주로 갈 수록 시가총액에 비례하여
최대 비중 제약조건이 낮아짐을 알 수 있다.


ⅱ. Concentration Constraint


포트폴리오 내에서 특정 종목으로의 쏠림이
얼마나 심한가를 측정하는 지표로
Diversification Ratio 혹은 Effective N 이 사용된다.




종목간에 비중 쏠림이 작을 수록
Diversification Ratio 과 Effective N 은 커지게 된다.

극단적으로 쏠림이 작은 동일가중 포트폴리오의 경우

Diversification Ratio 는 0.995 가 나오며,
Effective N 은 200 이 나온다.

해당 연구에서는 FTSE 에서 사용되는 Effective N: 50에 맞춰
Diversification Ratio > 0.98 의 제약조건을 둔다.



비선형 제약조건의 선형화


지난번 연구에서는 Concentration Constraint 를 풀기 위해
비선형 방법론 (Differential Evolution) 을 사용하였으나,
해당 방법론은 다음과 같은 단점이 있다.

ㄱ. 계산 시간이 지나치게 오래 걸림
ㄴ. 계산 반복시 마다 값이 미세하게 변경됨

해당 연구에서는 Ridge Regression 을 활용하여
비선형 제약조건을 강제로 선형 제약조건으로
변경하여 문제를 해결하도록 한다.


MDP 포트폴리오에의 적용은
간단히 표현하면 다음과 같다.




람다 값이 0 일 경우
기존의 일반적인 MDP 목적함 수 이지만,

람다 값이 증가할 수록 Concentration 제약조건도 함께 고려된다.




람다 값의 증가에 따른
DR 과 Diversification 정도의 그래프 이다.

람다가 0 인 경우,
max DR 최적화 값만 찾지만

람다가 증가할 수록
DR 값은 점차 감소하는 반면
종목간 분산화 정도는 점점 증가한다.

해당 연구에서는 각 리밸런싱 시점에서

Diversification 값이 0.98 이 (Effective N = 50)

되는 람다 값을 찾은 후,
해당 값을 제약 조건에 부여한다.



시뮬레이션 방법론


본 연구에서는 위의 제약조건들을 토대로
KOSPI 200 대상 MDP 를 시뮬레이션 한다.

기간은 2001년 1월 부터 현재까지를 하며,
사용되는 covariance matrix는
Daily return 기준 과거 1년 값을 사용한다. 

Quarterly Rebalancing 을 시행하며
(1, 4, 7, 10월 초)

각각 아래 포트폴리오에 대한 백테스트를 한다.

ⅰ. KOSPI 200
ⅱ. MDP with No Constraint
ⅲ. MVP with Cap weight Constraint
ⅳ. MVP with Cap & Concentration Constraint


1bp 이하의 종목의 비중은 0으로 처리한다.



백테스트: 분기별 리밸런싱


2001년 1월부터 분기별 리밸런싱 기준
누적수익률 및 년도별 수익률,
요약 통계량은 아래와 같다.



 
KOSPI 200
No Constraint
Cap Weight
Cap & Concen
누적 수익률
3.1043
1.3427
4.6469
4.5825
연율화 수익률
0.0923
0.0546
0.1143
0.1135
연율화 변동성
0.2158
0.2265
0.2089
0.2155
샤프 지수
0.4276
0.2413
0.5470
0.5266
MDD
0.4698
0.5835
0.4698
0.4754
추적 오차
0.3226
0.3332
0.3158
0.3205
정보 비율
0.0000
-0.1140
0.0709
0.0671
사전 변동성 (평균)
0.3046
0.1070
0.1406
0.1580
DR (평균)
1.8554
3.2587
2.9014
2.8582
종목 구성수 (평균)
199.1911
40.7941
71.9852
95.6470
분산 정도 (평균)
0.9463
0.9422
0.9727
0.9809
상위 5  (평균)
0.3719
0.3664
0.2390
0.1903


비제약 조건 MDP 의 경우, DR 값은 가장 높았지만 
과최적화로 인해 지수 보다 못한 성과를 기록하였다.

반면 Cap Weight 및 Concentration Constraint 를 부과할 경우
지수 대비 우월한 성과를 거둠이 확인됐다.


Alpha
MKT
SMB
HML
R-square
No Constraint
-0.0028
(-1.286)
0.8033
(23.798)
0.6211
(12.484)
0.2440
(4.998)
0.8047
Cap Weight
0.0014
(0.875)
0.8076
(32.102)
0.5051
(13.622)
0.2287
(6.286)
0.8724
Cap & Concen
0.0014
(1.017)
0.8435
(38.277)
0.5622
(17.309)
0.2058
(6.458)
0.9080


각 제약조건의 수익률과
FF 3 factor 의 회귀분석 결과를 살펴보면

제약조건이 추가 될 수록,
종목에 대한 분산정도가 커져,
Market beta 값이 증가 함을 알 수 있다.


다음은 각 지표의 시계열 흐름을 나타낸 그래프이다.

사전 변동성 (Ex-ante volatility)


DR

종목 구성수

분산 정도

상위 5개 종목 비중 합



백테스트: 턴오버와 매매비용 추가


제약조건이 작을 수록 종목 수가 작아져
턴오버가 증가하며, 이는 매매비용의 증가로 이어진다.

따라서 추가적으로 이를 고려해 보도록 한다.

먼저 턴오버는 다음과 같이 정의한다.


전기 리밸런싱 시점과 현재 시점
각 종목간의 비중 차이 절대 값의 합으로
매수 / 매도 양측 모두를 고려한다.


턴오버

턴오버 (년도별)

제약조건이 약할 수록 턴오버가 증가함을 알 수 있다.
턴오버에 따른 매매수수료를 고려한 수익률을 살펴보도록 하겠다.

수수료의 경우 슬리피지 비용까지 고려하여 
아래와 같이 고려한다.

매수, 매도: 10bp
매매시 세금: 30bp


매매수수료 전과 후의 연율화 수익률 비교는 다음과 같다.


수수료
수수료
감소
No Constraint
0.0546
0.0452
20.80%
Cap Weight
0.1143
0.1072
6.62%
Cap & Concen
0.1135
0.1072
5.88%


턴오버가 심할 수록 매매 수수료로 인한
수익률 감소폭이 커졌다.